奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯自打跟克莱因讨论的翻转这个事情以来，自己在很多问题上都想找到各种奇思妙想的翻转。
其中一个是关于数论中因子分解的翻转，就是莫比乌斯反演。
莫比乌斯反演是数论数学中很重要的内容，可以用于解决很多组合数学的问题。
莫比乌斯研究如下函数：
f（1）=f（1）
f（2）=f（1）+f（2）
f（3）=f（1）+f（3）
f（4）=f（1）+f（2）+f（4）
f（5）=f（1）+f（5）
f（6）=f（1）+f（2）+f（3）+f（6）
f（7）=f（1）+f（7）
f（8）=f（1）+f（2）+f（4）+f（8）
反演变化过来时以下情况：
f（1）=f（1）
f（2）=f（2）-f（1）
f（3）=f（3）-f（1）
f（4）=f（4）-f（2）
f（5）=f（5）-f（1）
f（6）=f（6）-f（3）-f（2）+f（1）
f（7）=f（7）-f（1）
f（8）=f（8）-f（4）
后来的莫比乌斯函数用在黎曼猜想j（x）公式里。
μ（1）=
1
μ（n）=
（如果
n
可以被任一素数的平方整除）
μ（n）=-1
（如果
n
是奇数个不同素数的乘积）
μ（n）=
1
（如果
n
是偶数个不同素数的乘积）。
因此知道了
j（x）就可以计算出π（x），即素数的分布函数。
把这些步骤连接在一起，我们看到，从
ζ（x）到
j（x），再从
j（x）到π（x），素数分布的秘密完全定量地蕴涵在了
riemann
ζ函数之中。
这就是
riemann
研究素数分布的基本思路。
莫比乌斯反演用在黎曼猜想上，就充分说明了在黎曼猜想上，有一个更加深刻的反演的东西，这也许是莫比乌斯和克莱因要寻找的那种反演的东西。
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